已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且有
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)與平行的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，先利用橢圓定義得到的值并求出的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值，最終求出橢圓的方程；（2）根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)得到，即先求出的面積的最大值，先設(shè)直線(xiàn)的方程為，且、，將此直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理將的面積表示成只含的表達(dá)式，并利用換元法將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后利用基本不等式并結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求出面積的最大值，從而確定平行四邊形面積的最大值.
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得，，
又點(diǎn)在橢圓上， ，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形 ，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，且、，
由得，
，，
，
，
令，則，，
又在上單調(diào)遞增，
，的最大值為，
所以的最大值為.
考點(diǎn)：1.橢圓的定義與方程；2.直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系；3.韋達(dá)定理；4.基本不等式

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且恰好與直線(xiàn)相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)
（1）求曲線(xiàn)C的方程，
（2）直線(xiàn)l與直線(xiàn)l，垂直且與曲線(xiàn)C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試探討點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓，直線(xiàn)的方程為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于異于左頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線(xiàn)，交直線(xiàn)分別于點(diǎn)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求此時(shí)直線(xiàn)的方程；
（2）試問(wèn)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為為，恰是拋物線(xiàn)C2：的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且｜MF2｜=．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點(diǎn)N滿(mǎn)足，直線(xiàn)l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)與軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)？若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線(xiàn)段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段的上方，
線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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