已知函數(shù)f(x)=ax-a+1(a>0且a≠1),恒過(guò)定點(diǎn)(2,2).
(1)求實(shí)數(shù)a;
(2)在(1)的條件下,將函數(shù)f(x)的圖象向下平移1個(gè)單位,再向左平移a個(gè)單位后得到函數(shù)g(x),設(shè)函數(shù)g(x)的反函數(shù)為h(x),直接寫出h(x)的解析式;
(3)對(duì)于定義在(0,4)上的函數(shù)y=h(x),若在其定義域內(nèi),不等式[h(x)+2]2>h(x)m-1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由于函數(shù)f(x)=ax-a+1(a>0且a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)(2,2).可得a2-a+1=2,解出即可.
(2)利用平移變換的法則“左加右減,上加下減”即可得出g(x)=2x,再利用同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),即可得出.
(3)(log2x+2)2>mlog2x-1在(0,4)恒成立,設(shè)t=log2x(0<x<4)且t<2,可得(t+2)2>tm-1即:t2+(4-m)t+5>0,在t<2時(shí)恒成立.
令g(t)=t2+(4-m)t+5,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得
m-2
2
≤2
△=(4-m)2-20<0
,或
m-2
2
>2
g(2)=17-2m≥0
解出即可.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax-a+1(a>0且a≠1),恒過(guò)定點(diǎn)(2,2).
∴a2-a+1=2,化為a2-a=1.
∴2-a=0,解得a=2.
(2)∵f(x)=2x-2+1,將函數(shù)f(x)的圖象向下平移1個(gè)單位,得到y(tǒng)=2x-2,再向左平移2個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=2x
∴g(x)=2x
∴h(x)=log2x(x>0).
(3)∵(log2x+2)2>mlog2x-1在(0,4)恒成立,
∴設(shè)t=log2x(0<x<4)且t<2,可得(t+2)2>tm-1即:t2+(4-m)t+5>0,在t<2時(shí)恒成立.
令g(t)=t2+(4-m)t+5,
m-2
2
≤2
△=(4-m)2-20<0
,或
m-2
2
>2
g(2)=17-2m≥0

解得4-2
5
<m≤8
.或8<m≤
17
2

綜上可得:m的取值是4-2
5
<m≤
17
2
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、平移變換、換元法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
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(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
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