Question

已知函數(shù)（）
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，利用直線的點斜式方程求切線方程；（2）由題意，不等式恒成立，對于恒成立問題可考慮參變分離，也可以構(gòu)造函數(shù)法，本題構(gòu)造函數(shù)，等價于，故利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，求的根，得或，討論根的大小并和定義域比較，同時要注意分子二次函數(shù)的開口方向，通過判斷函數(shù)大致圖像，從而求函數(shù)的最大值，進而列不等式求的取值范圍．
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為．
當時，，，則，又切點為，故曲線在處的切線方程為．
（2）令定義域
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，等價于在恒成立，即，，令，得或，
當時，，故在單調(diào)遞減，則，得；
當時，，當時，，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，此時，故不可能，不合題意；
當時，在單調(diào)遞增，，故不可能，不合題意．
綜上：的取值范圍．