Question

【題目】已知矩形ABCD的邊AB=2，BC=1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，建立直角坐標(biāo)系。將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上，重新記為點(diǎn)

(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，求折痕所在直線方程.

(2)若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；

(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)折痕所在直線與軸交于點(diǎn)E，與軸交于點(diǎn)F，將沿折痕EF旋轉(zhuǎn)．使二面角的大小為，設(shè)三棱錐的外接球表面積為，試求最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)得到對(duì)稱(chēng)直線的斜率，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)，代入直線可得到結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在直線方程為；當(dāng)時(shí)，A點(diǎn)落在線段同DC上的點(diǎn)記為G(，1)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到直線斜率和直線上的點(diǎn)，由點(diǎn)斜式得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得到EF的中點(diǎn)G為外接球的球心，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得到半徑，進(jìn)而求解.

(1)折疊后，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)得到直線的斜率為：，兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)為：在直線上，故易求所在直線方程為：.

(2)當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在直線方程為

當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段同DC上的點(diǎn)記為G(，1) ()，則A與G關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱(chēng)，得 故

線段OG中點(diǎn)，所以折痕所在直線方程為：

即

綜上所述，所求折痕所在直線方程為.

(3)由（2）當(dāng)時(shí)，折痕所在直線與軸交于點(diǎn)E，與軸交于點(diǎn)F，則，記EF的中點(diǎn)為G點(diǎn)，根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)得到：，故得到G點(diǎn)為球的直徑；球的直徑即為，

所以所以 ,

所以最小值為.