Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R⁺，對任意x，y∈R⁺，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：當x∈R⁺時，恒有f(

1

x

)=-f(x)；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（4）由上一小題知：f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，因而f（x）的反函數(shù)f^-1（x）存在，試根據(jù)已知恒等式猜想f^-1（x）具有的性質，并給出證明．

Answer 1

（1）令x=y=1，則f（1）=2f（1），∴f（1）=0
（2）證明：令y=

1

x

，則f（1）=f（x）+f（

1

x

），∴f(

1

x

)=-f(x)
（3）證明：設任意x，y∈R⁺，且x＜y，

y

x

=a＞1
則f（x）-f（y）=f（x）-f（x•a）=f（x）-f（x）-f（a）=-f（a）
∵當x＞1時，f（x）＜0
∴f（a）＜0，-f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
（4）猜想f^-1（x）具有的性質，f^-1（0）=1
證明：因為原函數(shù)與反函數(shù)關于直線y=x對稱，
∵f（1）=0
∴f^-1（0）=1