已知函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)
(1)求函數(shù)的最小值f(a)
(2)試確定滿足f(a)=
12
的a的值
(3)當a。2)中的值時,求y的最大值.
分析:(1)令cosx=t,t∈[-1,1],則y=2t2-2at-(2a+1),再進行分類討論;
(2)由(1)知,分兩種情況討論:-4a+1=
1
2
-
a2
2
-2a-1=
1
2
,應注意a的范圍;(3)當a=-1時,y=2t2+2t+1=2(t+
1
2
)2+
1
2
,故可求.
解答:解:(1)令cosx=t,t∈[-1,1],則y=2t2-2at-(2a+1),對稱軸t=
a
2
…(2分)
a
2
<-1
,即a<-2時,[-1,1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間,ymin=1
a
2
>1
,即a>2時,[-1,1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間,ymin=-4a+1
-1≤
a
2
≤1
,即-2≤a≤2時,ymin=-
a2
2
-2a-1
…(6分)
(2)當-4a+1=
1
2
,得a=
1
8
,與a>2矛盾;
-
a2
2
-2a-1=
1
2
得a=-1,或a=-3,∴a=-1,
綜上,a=-1…(10分)
(3)當a=-1時,y=2t2+2t+1=2(t+
1
2
)2+
1
2

因為t∈[-1,1]
所以,當t=1時,y取最大值,ymax=5 …12分)
點評:本題主要考查二次函數(shù)的最值,應注意把握區(qū)間與對稱軸之間的關(guān)系,做好分類討論.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

4、已知函數(shù)y=2cos x(0≤x≤1 000π)的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形,則這個封閉圖形的面積是
2000π

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=2cos(
1
2
x+
π
4
)

(1)用“五點法”作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象;
(2)函數(shù)y=cosx圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到y=2cos(
1
2
x+
π
4
)
的圖象?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•肇慶二模)已知函數(shù)y=2cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為π,那么ω=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤
π
2
)的圖象與y軸相交于點M(0,
3
),且該函數(shù)的最小正周期為π.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知點A(
π
2
,0),點P是該函數(shù)圖象上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點,當y0=
3
2
,x0∈[
π
2
,π]時,求x0的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年廣東省肇慶市高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)y=2cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為π,那么ω=( )
A.
B.
C.1
D.2

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