【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2|x﹣a|(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(2)當a>0時,若對任意的x∈[0,+∞),不等式f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:由函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)可知,
對任何x都有f(﹣x)=f(x),
得:(﹣x)2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|,
即|x+a|=|x﹣a|對任何x恒成立,
平方得:4ax=0對任何x恒成立,
而x不恒為0,則a=0;
(2)解:將不等式f(x﹣1)≤2f(x),
化為(x﹣1)2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|,
即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1(*)對任意x∈[0,+∞)恒成立,
1)當0≤x≤a 時,將不等式(*)可化為 x2+4x+1﹣2a≥0,
對0≤x≤a上恒成立,則g(x)=x2+4x+1﹣2a 在(0,a]為單調(diào)遞增,
只需g(x)min=g(0)=1﹣2a≥0,得0<a≤ ;
2)當 a<x≤a+1時,將不等式(*)可化為x2﹣4x+1+6a≥0,
對a<x≤a+1上恒成立,由(1)可知0<a≤ ,
則h(x)=x2﹣4x+1+6a 在(a,a+1]為單調(diào)遞減,
只需h(x)min=h(a+1)=a2+4a﹣2≥0 得:a≤﹣ ﹣2或a≥ ﹣2,
即: ﹣2≤a≤ ;
3)當 x>a+1時,將不等式(*)可化為x2+2a﹣3≥0對x>a+1恒成立
則t(x)=x2+2a﹣3 在(a+1,+∞) 為單調(diào)遞增,
由(2)可知 ﹣2≤a≤ 都滿足要求.
綜上:實數(shù)的取值范圍為: ﹣2≤a≤ .
【解析】(1)由偶函數(shù)的定義,化簡整理,由恒成立思想可得a=0;(2)將不等式f(x﹣1)≤2f(x),化為(x﹣1)2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|,即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1對任意x∈[0,+∞)恒成立,對x討論:(1)當0≤x≤a時,(2)當a<x≤a+1時,(3)當x>a+1時,去掉絕對值,由二次函數(shù)的最值求法,可得最小值,解不等式即可得到a的范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電子公司開發(fā)一種智能手機的配件,每個配件的成本是15元,銷售價是20元,月平均銷售件,通過改進工藝,每個配件的成本不變,質(zhì)量和技術(shù)含金量提高,市場分析的結(jié)果表明,如果每個配件的銷售價提高的百分率為,那么月平均銷售量減少的百分率為,記改進工藝后電子公司銷售該配件的月平均利潤是(元).
(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)改進工藝后,試確定該智能手機配件的售價,使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)函數(shù)f(x)滿足對任意的實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(4)=2,求f( )的值; (Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(x)在[﹣1,1]上遞增,求不等式f(x+ )+f(x﹣1)<0
的解集.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2: .
(Ⅰ)求曲線C1和C2的直角坐標方程,并分別指出其曲線類型;
(Ⅱ)試判斷:曲線C1和C2是否有公共點?如果有,說明公共點的個數(shù);如果沒有,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)是曲線C1上任意一點,請直接寫出a + 2b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點,點是圓上的任意一點,,線段的垂直平分線與直線交于點.
(1)求點的軌跡方程;
(2)若直線與點的軌跡相切,且與圓相交于點和,求直線和三角形的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A中含有三個元素3,x,x2﹣2x.
(1)求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件;
(2)若﹣2∈A,求實數(shù)x.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=xlnx-a(x-1)2-x,g(x)=lnx-2a(x-1),其中常數(shù)a∈R.
(Ⅰ)討論g(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當a>0時,若f(x)有兩個零點x1,x2(x1<x2),求證:在區(qū)間(1,+∞)上存在f(x)的極值點x0,使得x0lnx0+lnx0-2x0>0.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)()的對稱中心到對稱軸距離的最小值為.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)中,角的對邊分別為.已知銳角為函數(shù)的一個零點,且,的面積,求.
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