【題目】已知數(shù)列和滿足,,,.
(1)證明:是等比數(shù)列,是等差數(shù)列;
(2)求和的通項(xiàng)公式;
(3)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和的通項(xiàng)公式,并求數(shù)列的最大值、最小值,并指出分別是第幾項(xiàng).
【答案】(1)證明見解析;(2),;(3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;的最大值為第1項(xiàng),最大值為1,最小值為第2項(xiàng),最小值為.
【解析】
(1)根據(jù)定義判斷是等比數(shù)列,是等差數(shù)列;
(2)由(1)求得和的通項(xiàng)公式,解方程分別求得和的通項(xiàng)公式
(3)先求為偶數(shù)時(shí)的,利用并項(xiàng)求和法求出,再求為奇數(shù)時(shí)的,
利用遞推式(為偶數(shù)),再分析的符號和單調(diào)性,求出的最大
值和最小值.
解: (1)由題,,相加得
得,故是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列;
又由,,相減得,
即,故是首項(xiàng)為公差為 的等比數(shù)列.
(2)由(1)得,,聯(lián)立解得
,
(3)由(2)得
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,
時(shí),
則當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.
綜合得
則當(dāng)為奇數(shù)時(shí),單調(diào)遞增且;
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
故單調(diào)遞減,又,即,
則當(dāng)為奇數(shù)時(shí),單調(diào)遞減且,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),單調(diào)遞增且
故的最大值為第1項(xiàng),最大值為1,最小值為第2項(xiàng),最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若曲線與曲線在它們的某個(gè)交點(diǎn)處具有公共切線,求的值;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)使不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍
(Ⅲ)若方程有三個(gè)不同的解,且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,寫出實(shí)數(shù)的值(只需寫出結(jié)果).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生物興趣小組對冬季晝夜溫差與反季節(jié)新品種大豆發(fā)芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究,他們分別記錄了月日至月日每天的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天顆種子的發(fā)芽數(shù),得到以下表格
該興趣小組確定的研究方案是:先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù),然后用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1) 求統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)芽數(shù)的平均數(shù)與方差;
(2) 若選取的是月日與月日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)月日至月日的數(shù)據(jù),求出發(fā)芽數(shù)關(guān)于溫差的線性回歸方程,若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選取的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,問得到的線性回歸方程是否可靠? 附:線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估法計(jì)算公式:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, .
(1)求證:平面平面;
(2)若,試判斷棱上是否存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓,橢圓的長軸長為8,離心率為.
求橢圓方程;
橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線交于原點(diǎn),且,求四邊形ABCD周長的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.
在中求邊AC的高線所在直線的一般方程;
求平行四邊形ABCD的對角線BD的長度;
求平行四邊形ABCD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),2017年國慶中秋假日期間,黔東南州共接待游客590.23萬人次,實(shí)現(xiàn)旅游收入48.67億元,同比分別增長44.57%、55.22%.旅游公司規(guī)定:若公司導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收入不低于40(單位:百萬元),則稱為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙兩家旅游公司各有導(dǎo)游100名,統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:
分組 | |||||
頻數(shù) | 18 | 49 | 24 | 5 |
(Ⅰ)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?
(Ⅱ)若導(dǎo)游的獎(jiǎng)金(單位:萬元),與其一年內(nèi)旅游總收入(單位:百萬元)之間的關(guān)系為,求甲公司導(dǎo)游的年平均獎(jiǎng)金;
(Ⅲ)從甲、乙兩家公司旅游收入在的總?cè)藬?shù)中,用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行表彰,其中有兩名導(dǎo)游代表旅游行業(yè)去參加座談,求參加座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)a=, (, ), 是的導(dǎo)函數(shù).①若對任意的x>0, >0,求證:存在,使<0;②若,求證: <.
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