Question

如圖，以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB；已知VA=kAB，點E是VC的中點，底面正方形ABCD邊長為2a，高為h．
（Ⅰ）求COS＜

BE

，

DE

＞；
（Ⅱ）當k取何值時，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，并求二面角B-VC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）給出各點的坐標，求出兩個向量

BE

=（-

3a

2

， -

a

2

，

H

2

），

DE

=（

a

2

，

3a

2

，

h

2

），利用數(shù)量積公式即可求解；
（Ⅱ）假設(shè)，∠BED是二面角B-VC-D的平面角可得

BE

⊥

CV

，

BE

•

CV

=0，

DE

•

CV

=0，代入坐標解得引入的參數(shù)的關(guān)系，再代入二面角B-VC-D的余弦公式即可求值

解答：解：（I）由題意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），
E（-

a

2

，

a

2

，

h

2

）由此得：

BE

=（-

3a

2

， -

a

2

，

H

2

），

DE

=（

a

2

，

3a

2

，

h

2

）
∴

BE

•

DE

=-

3a 2

2

+

h 2

4

（3分）
|

BE|

=|

DE

|=

1

2

10a2+h2

（5分）
由向量的數(shù)量積公式有：
cos＜

BE

，

DE

＞=

BE • DE

| BE| | DE |

=

- 3a 2 2 + h 2 4

1 2 10a2+h2 × 1 2 10a2+h2

=

-6a2+h2

10a2+h2

（7分）
（II）若∠BED是二面角B-VC-D的平面角，則

BE

⊥

CV

∴

BE

•

CV

=0，

DE

•

CV

=0（8分）
由C（-a，a，0），V（0，0，h）有

CV

=（a，-a，h）
又

BE

=（-

3a

2

， -

a

2

，

H

2

），
∴

BE

•

CV

=a2+

h2

2

=0解得：h=

2

a（10分）
∴cos＜

BE

，

DE

＞=

BE • DE

| BE| | DE |

=

-6a2+h2

10a2+h2

=

-6a2+( 2 a)2

10a2+ ( 2 a)2

=-

1

3

（12分）
VA=

VO2+OA2

=2a又VA=kAB且AB=2a
從而k=1反之成立（13分）
因此當k=1時，∠BED是二面角B-VC-D的平面角，且二面角B-VC-D的余弦值為-

1

3

．（14分）

點評：本題察利用空間向量求二面角以及利用空間向量尋求某角是二面角平面角的條件，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力