【題目】如圖,已知直三棱柱的底面是直角三角形,

求證:平面

求二面角的余弦值;

求點到平面的距離.

【答案】證明見解析

【解析】

()根據(jù)直三棱柱中可以為坐標原點建立空間直角坐標系,求解平面的法向量并證明即可.

()分別求解ABD的一個法向量與平面的一個法向量,利用二面角的向量公式求解即可.

()根據(jù)線面垂直的關(guān)系可得點到平面的距離為,再求解即可.

依題意,以C為原點,CBx軸,y軸,CAz軸,建立空間直角坐標系,

,

,

證明:,

設平面的一個法向量為,則,

,則,

,即,

平面;

,

設平面ABD的一個法向量為,則,

,則,

又平面的一個法向量為,

,

即二面角的余弦值為;

設點到平面的距離為d,則易知,而,

到平面的距離為

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