Question

如圖，寬為a的走廊與另一寬為b的走廊垂直相連，設(shè)細(xì)桿AC的長(zhǎng)為l，∠ACD=α
（1）試用a，b，α表示l；
（2）當(dāng)b=a時(shí)，求當(dāng)細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角時(shí)l的最大值；
（3）當(dāng)l=8a時(shí)，問細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角，則另一走廊寬b至少是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=，BC=，可表示出l，注意角α范圍；
（2）l==，令t=sinα+cosα=sin（），則l==，t，利用導(dǎo)數(shù)可求得l的最小值，從而可得答案；
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•，，利用導(dǎo)數(shù)可求得b的最小值；
解答：（解：（1）AB=，BC=，
∴l(xiāng)=AB+BC=，∴l(xiāng)=，；
（2）l==，
令t=sinα+cosα=sin（），
∵0＜，∴t，，
∴l(xiāng)==，t，
而＜0，
∴l(xiāng)=在t上是減函數(shù)，且當(dāng)t大于1且無(wú)限趨近于1時(shí)，l→+∞，∴l(xiāng)∈[4，+∞），
∴細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角時(shí)l的最大值為4．
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•，，
b′=8acosα-==，
令b′=0，則cosα=，，
當(dāng)0＜時(shí)，b′＜0；    當(dāng)時(shí)，b′＞0，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴另一走廊的寬至少為a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生對(duì)題目的理解分析能力．