已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.

解析試題分析：（Ⅰ）為了證明∥平面,需要在平面內(nèi)找一條與平行的直線，而要找這條直線一般通過(guò)作過(guò)且與平面相交的平面來(lái)找.在本題中聯(lián)系到為中點(diǎn)，故連結(jié)，這樣便得一平面，接下來(lái)只需證與交線平行即可.對(duì)（Ⅱ）（Ⅲ）兩個(gè)小題，由于是直三棱柱，且，故兩兩垂直，所以可以以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決.
試題解析：（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn).又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ∥， 因?yàn)?平面，平面， 所以 ∥平面.                            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

，則.
所以 ，
設(shè)平面的法向量為，則有
所以  
取，得.       6分
易知平面的法向量為.                  7分
由二面角是銳角，得 .   8分
所以二面角的余弦值為.
（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4f/3/m4wpn1.png" style="vertical-align:middle;" />在線段上，，，故可設(shè)，其中.
所以 ，.          9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/76/9/1y3h03.png" style="vertical-align:middle;" />與成

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝，E為CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在線段DE內(nèi)．

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（Ⅰ）求證；
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已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC1∥平面CA1D；
(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB1= ，求三棱錐B1-A1DC的體積．

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如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：；
（1）確定點(diǎn)在線段上的位置，使//平面，并說(shuō)明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱錐B-CDF的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形.是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：；
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(3) 若四點(diǎn)在同一球面上，求該球的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如下圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.

（1）證明：直線平面；
（2）現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理.已知，，，（單位：），每平方厘米的加工處理費(fèi)為元，需加工處理費(fèi)多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

一個(gè)三棱柱的底面是邊長(zhǎng)3的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖如圖所示，.
（1）請(qǐng)畫(huà)出它的直觀圖；（2）求這個(gè)三棱柱的表面積和體積.

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如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(cè)(左)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是的中點(diǎn)，側(cè)(左)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．

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(2)若是的中點(diǎn)，求證：∥平面；
(3)求證：平面⊥平面.

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