【題目】已知向量 與 .
(Ⅰ)若 在 方向上的投影為 ,求λ的值;
(Ⅱ)命題P:向量 與 的夾角為銳角;
命題q: ,其中向量 , =( )(λ,α∈R).若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求λ的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由已知, 在 方向上的投影 = ,即 = .
所以1﹣2λ=5,∴λ=﹣2.
(Ⅱ)1°,若p為真,則 >0,且 ,即1﹣2λ>0,且λ≠﹣2.
2°若p為真,由 得λ2﹣cos2α=λ+2sinα,
∴λ2﹣λ=cos2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=﹣(sinα﹣1)2+2.
∵﹣1≤sinα≤1,∴﹣2≤λ2﹣λ≤2,∴﹣1≤λ≤2.
若p真q假,則 ∴λ<﹣1且λ≠﹣2.
若p假q真,則 ∴ ≤λ≤2
綜上得λ∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,﹣1)∪[ ,2]
【解析】(Ⅰ) 在 方向上的投影的表達式是 ,由此得出關于λ的方程,解出即可.(Ⅱ)若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,則pq中一真一假,分類求解,再合并即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合命題的真假的相關知識,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反;“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真,其他情況時為假;“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假,其他情況時為真,以及對數(shù)量積表示兩個向量的夾角的理解,了解設、都是非零向量,,,是與的夾角,則.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E為PC的中點,且DE=EC.
(1)求證:PA⊥面ABCD;
(2)設PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈( , ),求a的取值范圍.
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【題目】兩條平行直線和圓的位置關系定義為:若兩條平行直線和圓有四個不同的公共點,則稱兩條平行線和圓“相交”;若兩平行直線和圓沒有公共點,則稱兩條平行線和圓“相離”;若兩平行直線和圓有一個、兩個或三個不同的公共點,則稱兩條平行線和圓“相切”.已知直線l1:2x﹣y+a=0,l2:2x﹣y+a2+1=0和圓:x2+y2+2x﹣4=0相切,則a的取值范圍是( )
A.a>7或a<﹣3
B.
C.﹣3≤a≤一 或 ≤a≤7
D.a≥7或a≤﹣3
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【題目】設P是橢圓 上一點,M、N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x﹣4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值的分別為( )
A.9,12
B.8,11
C.8,12
D.10,12
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和函數(shù)的單調遞增區(qū)間;
(2)已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若 ,求AB.
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【題目】“糖尿病”已經成為日漸多發(fā)的一種疾病,其具有危害性大且難以完全治愈的特征.為了更好的抑制“糖尿病”多發(fā)的勢頭,某社區(qū)衛(wèi)生醫(yī)療機構針對所服務居民開展了免費測血糖活動,將隨機抽取的10名居民均分為, 兩組(組:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9; 組:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5).
(1)通過提供的數(shù)據(jù)請判斷哪一組居民的血糖值更低;
(2)現(xiàn)從組的5名居民中隨機選取2名,求這2名中至少有1名的血糖值低于4.5的概率.
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