Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=5，S₅=45．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

4

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=5，S₅=45，我們由此構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)和公差）的方程，解方程即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）由（I）中結(jié)論，我們易寫出數(shù)列{

4

an•an+1

}的通項(xiàng)公式，觀察到數(shù)列{

4

an•an+1

}的通項(xiàng)公式為分式的形式，故可以用裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵a₂=5，S₅=45
∴a₁+d=5
5（a₁+2d）=45
解得：a₁=1，d=4
則a_n=4n-3
（II）由（I）得

4

an•an+1

=

4

(4n-3)(4n+1)

=

1

4n-3

-

1

4n+1

∴T_n=（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）
=1-

1

4n+1

=

4n

4n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)瞇是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)和公差）的方程，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，是解答本題的關(guān)鍵．