Question

【題目】當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：

每分鐘跳 繩個數(shù)
得分	16	17	18	19	20

（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；

（Ⅱ）若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：

（ⅰ）預(yù)估全年級恰好有1000名學(xué)生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù).（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）

（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，

，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）（ⅰ）,（ⅱ）分布列見解析 ,

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算，每分鐘跳繩個數(shù)的人數(shù)為（人）每分鐘跳繩個數(shù)的人數(shù)為（人），由題意可知，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，根據(jù)互斥事件概率加法公式，計算即可.

（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的均值，可知正式測試時期望的估計值，方差，計算，，（ⅰ）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，計算，求解人數(shù)即可. （ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)202以上的概率為，則服從二項分布，即，計算分布列和期望，即可.

（Ⅰ）由題意可知，得16分的人數(shù)為5人，得17分的人數(shù)為9人，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分.

所以，兩人得分之和不大于33分的概率為：.

（Ⅱ）（個）

又，，所以正式測試時，，.

∴，.

（ⅰ）∴，∴（人）.

（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)202以上的概率為，即.

∴，，

，，

∴的分布列為

	0	1	2	3

.