已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線(xiàn)交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1） ；（2）.

解析試題分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，橢圓的性質(zhì)；（2）由直線(xiàn)的方程于橢圓的方程組成方程組，消去，由及綜合求得.
試題解析：（1）由兩焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形，則，，
所以橢圓方程為.            （4分）
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且使為的垂心，設(shè)，，
∵，，則，故直線(xiàn)的斜率，∴設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由得，由題意知，即，      （7分）
且，，由題意應(yīng)有，
而，，
故，                    （9分）
∴，
解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不存在，故舍去，
∴當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)方程為滿(mǎn)足題意，
綜上所述，存在直線(xiàn)，且直線(xiàn)的方程為,             （14分）
考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，A，C關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，BD平行于拋物線(xiàn)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形ABCD的面積為4，求直線(xiàn)BD的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，直線(xiàn):與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)垂直于點(diǎn)，
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅲ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；
（Ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足向量與共線(xiàn)，與共
線(xiàn)，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知定圓的圓心為，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且和圓相切，動(dòng)圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線(xiàn)的方程；
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，試探究直線(xiàn)：與曲線(xiàn)是否存在交點(diǎn)? 若存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若橢圓C：的離心率e為, 且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2＝－12x的焦點(diǎn)重合．
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 設(shè)點(diǎn)M(2,0), 點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn), 當(dāng)|MQ|最小時(shí), 試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3) 設(shè)P(m,0)為橢圓C長(zhǎng)軸（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線(xiàn)l交橢圓與
A,B兩點(diǎn), 若|PA|2＋|PB|2的值僅依賴(lài)于k而與m無(wú)關(guān), 求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

雙曲線(xiàn)與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求其方程。

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同步練習(xí)冊(cè)答案