如圖，已知△OFQ的面積為S,且·=1.

(1)若＜S＜2,求向量與的夾角θ的取值范圍;

(2)設(shè)||=c(c≥2),S=c,若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)||取最小值時(shí)，求橢圓的方程.

解：(1)由已知，得

   

    ∴tanθ=2S.

    ∵＜S＜2,

    ∴1＜tanθ＜4.

    則＜θ＜arctan4.

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0),Q(x,y).

    =(c,0),則=(x-c,y).

    ∵||·y=c,

    ∴y=.

    又∵·=c(x-c)=1,

    ∴x=c+.

    則||==(c≥2).

    可以證明：當(dāng)c≥2時(shí)，函數(shù)t=c+為增函數(shù)，∴當(dāng)c=2時(shí)，

    ||min==,

    此時(shí)Q(,).

    將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，得

    解得

    ∴橢圓方程為+=1.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設(shè)|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，以c為變量，當(dāng)|
OQ
|取最小值時(shí)，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設(shè)|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，以c為變量，當(dāng)|
OQ
|取最小值時(shí)，求橢圓的方程．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年北京市首師大附中高三大練習(xí)數(shù)學(xué)試卷10（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知△OFQ的面積為S，且．
（Ⅰ）若，求的范圍；
（Ⅱ）設(shè)若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，以c為變量，當(dāng)取最小值時(shí)，求橢圓的方程．

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如圖，已知△OFQ的面積為S，且．
（Ⅰ）若，求的范圍；
（Ⅱ）設(shè)若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，以c為變量，當(dāng)取最小值時(shí)，求橢圓的方程．

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如圖，已知△OFQ的面積為S，且．
（Ⅰ）若，求的范圍；
（Ⅱ）設(shè)若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，以c為變量，當(dāng)取最小值時(shí)，求橢圓的方程．

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