設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，A是橢圓C上的一點，且
AF2
•
F1F2
=0，坐標(biāo)原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點P（-1，0），較y軸于點M，若
MQ
=2
QP
，求直線l的方程．
（I）由題設(shè)知F1(-
a2-2
，0)，F2(
a2-2
，0)
由于
AF2
•
F1F2
=0，則有
AF2
⊥
F1F2
，
所以點A的坐標(biāo)為(
a2-2
，±
2
a
)，
故AF1所在直線方程為y=±(
x
a
a2-2
+
1
a
)，…（3分）
所以坐標(biāo)原點O到直線AF1的距離為
a2-2
a2-1
(a＞
2
)，
又|OF1|=
a2-2
，所以
a2-2
a2-1
=
1
3
a2-2
，
解得a=2(a＞
2
)，
所求橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．…（5分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k），
設(shè)Q（x1，y1），由于
MQ
=2
QP
，
∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），
解得x1=-
2
3
，y1=
k
3
…（8分）
又Q在橢圓C上，得
(-
2
3
)2
4
+
(
k
3
)2
2
=1，
解得k=±4，…（10分）
故直線l的方程為y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案