Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在上的最小值；
（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點、且，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）先求出函數(shù)在上的單調區(qū)間，并求出相應的極小值點，然后就極小值點是否在區(qū)間內進行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，從而求出最小值；（2）將函數(shù)在定義域上有兩個極值點等價轉化為導函數(shù)方程在定義域上有兩個不等的實根，借助參數(shù)分離法先求出當函數(shù)有兩個極值點時，的取值范圍，然后求出當時的取值，利用圖象的特點即可以得到當時，參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1），所以，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

①當時，即當時，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，
故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即；
②當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，此時函數(shù)在處取得最小值，
即，
綜上所述；
（2），所以，
函數(shù)有兩個極值點、，
等價于方程有兩個不等的正實根，
令，則，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，
由圖象知，當時，方程有兩個不相等的正實根、，
考查當時，的取值，
由題意知，兩式相減得，所以，
故，所以，，所以，
此時，
故當的取值范圍是時，.