【題目】已知橢圓Γ: =1(a>b>0)的右焦點為(2 ,0),且橢圓Γ上一點M到其兩焦點F1 , F2的距離之和為4 .
(Ⅰ)求橢圓Γ的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓Γ交于不同兩點A,B,且|AB|=3 .若點P(x0 , 2)滿足| |=| |,求x0的值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知2a=4 ,得a=2 ,又c=2 . ∴b2=a2﹣c2=4.
∴橢圓Γ的方程為 .
(Ⅱ)由 ,得4x2+6mx+3m2﹣12=0,①
∵直線l與橢圓Γ交于不同兩點A、B,
∴△=36m2﹣16(3m2﹣12)>0,
解得m2<16.
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則x1 , x2是方程①的兩根,
則 , .
∴|AB|= = = .
又由|AB|=3 ,得﹣ ,解得m=±2
據(jù)題意知,點P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點.
設(shè)AB的中點為E(x0 , y0),則 =﹣ , ,
當m=2時,E(﹣ ),
∴此時,線段AB的中垂線方程為y﹣ =﹣(x+ ),即y=﹣x﹣1.
令y=2,得x0=﹣3.
當m=﹣2時,E( ),
∴此時,線段AB的中垂線方程為y+ =﹣(x﹣ ),即y=﹣x+1.
令y=2,得x0=﹣1.…(1分)
綜上所述,x0的值為﹣3或﹣1
【解析】(Ⅰ)由已知2a=4 ,c=2 .由此能求出橢圓Γ的方程.(Ⅱ)由 ,得4x2+6mx+3m2﹣12=0,由此利用根的判別式、韋達定理、中垂線性質(zhì)、中點坐標公式,結(jié)合已知條件能求出x0的值.
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【題目】定圓M: =16,動圓N過點F 且與圓M相切,記圓心N的軌跡為E.
(I)求軌跡E的方程;
(Ⅱ)設(shè)點A,B,C在E上運動,A與B關(guān)于原點對稱,且|AC|=|CB|,當△ABC的面積最小時,求直線AB的方程.
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【題目】二次函數(shù)f(x),又 的圖象與x軸有且僅有一個公共點,且f′(x)=1﹣2x.
(1)求f(x)的表達式.
(2)若直線y=kx把y=f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分,求k的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且對任意的正整數(shù)n都有2Sn=6﹣an , 數(shù)列{bn}滿足b1=2,且對任意的正整數(shù)n都有 ,且數(shù)列 的前n項和Tn<m對一切n∈N*恒成立,則實數(shù)m的小值為 .
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【題目】已知函數(shù) 的值域為R,則常數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣1,1]∪[2,3)
B.(﹣∞,1]∪[2,+∞)
C.(﹣1,1)∪[2,3)
D.(﹣∞,0]{1}∪[2,3)
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【題目】已知函數(shù)f(x)= +lnx,其中a為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
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【題目】已知( +x2)2n的展開式中各項系數(shù)的和比(3x﹣1)n的展開式中二項式系數(shù)的和大992,求(2x﹣ )2n的展開式中:
(1)第10項
(2)常數(shù)項;
(3)系數(shù)的絕對值最大的項.
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【題目】如圖所示,拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點為F,C上的一點M(4,m)滿足|MF|=4.
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)過點E(﹣1,0)作不經(jīng)過原點的兩條直線EA,EB分別與拋物線C和圓F:x2+(y﹣2)2=4相切于點A,B,試判斷直線AB是否經(jīng)過焦點F.
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