Question

【題目】橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當的面積為時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線方程為：或。

【解析】

試題（Ⅰ）由已知條件橢圓過點，將代入方程，得到一個方程，再由，可得，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）當的面積為時，求直線的方程，橢圓右焦點． 當直線的斜率不存在時，驗證不符合條件，故直線的斜率存在，設直線方程，代入橢圓方程得到關于的一元二次方程，由，由根與系數關系即可求出斜率，從而可得直線的方程。

也可設設直線的方程為，代入橢圓方程得到關于的一元二次方程，由根與系數關系即可求出斜率，從而可得直線的方程。

試題解析：（1）因為橢圓過點，所以①，又因為離心率為，所以，所以②，解①②得

所以橢圓的方程為：

（2）①當直線的傾斜角為時，

，不適合題意

②當直線的傾斜角不為時，設直線方程，

代入得：

設，則

，

所以直線方程為：或