設(shè)函數(shù)f(x)=
(x-a)2x
,其中a∈R.
(I)當(dāng)a≠0時(shí),求函數(shù)f(x)的極大值和極小值;
(Ⅱ)當(dāng)a>4時(shí),是否存在k∈(1,2],使得不等式f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)對任意x∈R恒成立?若存在,求出k的范圍;若不存在,請說明理由.
分析:( I)先求f′(x)=0的值,發(fā)現(xiàn)需要討論a的正負(fù),分別判定在f′(x)=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況,來確定極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),求出極值;
( II)由( I)可知當(dāng)a>4時(shí)f(x)為單調(diào)函數(shù),利用單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為k-cosx≤k2-cos2x恒成立,分離參數(shù)求解即可.
解答:解:( I)f(x)=
(x-a)2
x
f′(x)=
x2-a2
x2

令f′(x)=0,解得x=-a或x=a. 由于a≠0,對定義域(-∞,0)∪(0,+∞)分以下兩種情況討論.
(1)若a>0,當(dāng)x變化時(shí),f'(x)的正負(fù)如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f′(x) + 0 - - 0 +
因此,函數(shù)f(x)在x=-a處取得極大值f(-a),且f(-a)=-4a;
函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0.
(2)若a<0,當(dāng)x變化時(shí),f′(x)的正負(fù)如下表:
x (-∞,a) a (a,0) (0,-a) -a (-a,+∞)
f′(x) + 0 - - 0 +
因此,函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0;
函數(shù)f(x)在x=-a處取得極小值f(-a),且f(-a)=-4a.
( II)當(dāng)k∈(1,2]時(shí),0<k-cosx≤3,0<k2-cos2x≤4.
由( I)知,:由a>4,f(x)在(0,a)上是減函數(shù),故f(x)在(0,4)上是減函數(shù),
要使f(k-cosx)≥f(k2-cos2x),x∈R,只要k-cosx≤k2-cos2x(x∈R)即cos2x-cosx≤k2-k(x∈R)①
設(shè)g(x)=cos2x-cosx=(cosx-
1
2
)2-
1
4
,則函數(shù)g(x)在R上的最大值為2.
要使①式恒成立,必須k2-k≥2,即k≥2或k≤-1.                
所以,在區(qū)間k∈(1,2]上存在k=2,使得原不等式對任意的x∈R恒成立
點(diǎn)評:本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識,考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx,g(x)=
2e
x
(p是實(shí)數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍;
(2)若直線l與函數(shù)f(x),g(x)的圖象都相切,且與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(diǎn)(1,0),求p的值;
(3)若在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在非零實(shí)數(shù)l使得對于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈D,且f(x+1)≥f(x),則稱f(x)為M上的高調(diào)函數(shù).現(xiàn)給出下列三個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=(
12
)x
為R上的l高調(diào)函數(shù);
②函數(shù)f(x)=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù);
③如果定義域是[-1,+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上的m高調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍[2,+∞);
其中正確的命題是
②③
②③
(填序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(  )

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設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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