設(shè)平面內(nèi)兩向量
a
，
b
滿足：
a
⊥
b
，|
a
|=2，|
b
|=1，點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足：x
a
+(y2-4)
b
與-x
a
+
b
互相垂直．求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對(duì)滿足條件的任意一點(diǎn)M均有|||
MA
|-|
MB
||等于定值．
分析：由已知可得[x
a
+(y2-4)
b
]•(-x
a
+y
b
)=0，把已知條件代入整理可得M的軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義可知，滿足條件的點(diǎn)即為雙曲線的兩焦點(diǎn)，而定值即為雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a
解答：證明：∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0
∵x
a
+(y2-4)與
b
-x
a
+y
b
垂直，且|
a
|=2，|
b
|=1
∴[x
a
+(y2-4)
b
]•[-x
a
+
b
] =0
∴-x2
a
2+x
a
•
b
-x(y2-4)
a
•
b
+(y2-4)
b
2=0
整理可得
y2
4
-x2=1
M（x，y）的軌跡是以（0，
5
）（0，-
5
）為焦點(diǎn)的雙曲線
由雙曲線的定義可知當(dāng)A，B分別為該雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，||MA|-|MB||=4
點(diǎn)評(píng)：本題以向量垂直為切入點(diǎn)，綜合考查雙曲線的定義的應(yīng)用，靈活熟練的推理論證及對(duì)基本知識(shí)的掌握是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：全優(yōu)設(shè)計(jì)必修四數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：044

設(shè)平面內(nèi)兩向量a，b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)．

(1)若x＝a＋(t－3)b與y＝－ka＋tb垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k＝f(t)；

(2)求函數(shù)k＝f(t)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

設(shè)平面內(nèi)兩向量a與b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)．

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設(shè)平面內(nèi)兩向量a、b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù).

(1)若x=a+(t-3)b與y=-ka+tb垂直,求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);

(2)求函數(shù)k=f(t)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)平面內(nèi)兩向量a與b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為0的實(shí)數(shù).

(1)若x=a+(t2-3)b與y=-ka+tb垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);

(2)試確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.

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