Question

已知兩定點(diǎn)E(-2,0),F(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足，由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為C.
（1）求曲線C的方程
（2）過點(diǎn)D（0，－2）作直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足
（O為原點(diǎn)），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時(shí)的直線的方程.

Answer 1

(1) (2) 直線的方程為

試題分析：解（1）動(dòng)點(diǎn)P滿足,點(diǎn)P的軌跡是以E F為直徑的圓，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.設(shè)M(x,y)是曲線C上任一點(diǎn)，因?yàn)镻Mx軸，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2y）, 點(diǎn)P在圓上，  ，
曲線C的方程是 .
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011533768716.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形OANB為平行四邊形，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)顯然不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx-2，與橢圓交于兩點(diǎn)，由得
，由，得，即


     10分
令

，，解得,滿足,
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立），
當(dāng)平行四邊形OANB面積的最大值為2.
所求直線的方程為
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用代數(shù)的方法來通過向量的數(shù)量積的公式，以及聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來求解，屬于中檔題。