Question

【題目】將方格表的每個方格任意填入或，然后允許進行如下操作：每次任意選擇一行（或列），將這一行（或列）中的數全部變號.若無論開始時方格表的數怎樣填，總能經過不超過次操作，使得方格表每一行中所有數的和、每一列中所有數的和均非負.試確定的最小值.

Answer 1

【答案】

【解析】

若方格表每一行中所有數的和、每一列中所有數的和均非負，則稱方格表具有“性質”.

首先證明：.

事實上，當開始時方格表中的數均為時，為使方格表具有性質，設對行進行了次操作，對列進行了次操作.

若，或，則結論成立；

若，且，則必有一行沒有進行操作，從而，對列進行的操作不少于次，即.

同理，.

故.

其次，對方格表中同一行（或列）進行偶數次操作等價于沒有對這一行（或列）進行操作，對方格表中同一行（或列）進行奇數次操作等價于對這一行（或列）進行了一次操作，因此，對方格表進行的不同操作有種.

接下來證明：這些操作結果中使方格表中所有數的和最大的方格表必具有性質.

若不然，設其中有一行（或列）中的數的和小于零.則對這一行（或列）進行一次操作，得到的方格表中所有數的和變大，與假設矛盾.

這說明，能經過有限次操作使得方格表具有性質.

最后證明：可以經過不超過次操作使得方格表具有性質.

由上面的論證，不妨設對行進行操作，對列進行操作可使方格表具有性質.

若，則結論成立；

若，則，并且對方格表中未進行操作的行與列都進行一次操作的結果與對前面行列進行操作的結果相同，于是，可以進行

次操作使方格表具有性質.

綜上，.