Question

【題目】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且.求的最小值.

Answer 1

【答案】(1);(2)24.

【解析】分析：（1）由雙曲線的離心率可得關(guān)于、的一個(gè)方程，再把點(diǎn)代入雙曲線的方程又得到關(guān)于、的一個(gè)方程，將以上方程聯(lián)立即可解最后結(jié)果；（2）利用得，故而可得，再結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果.

詳解：（1）由，可得，∴，∴雙曲線方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，解得，∴雙曲線的方程為.

（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，∵直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，

∴ .設(shè)，，

則，，由得到：，

即，∴，

化簡(jiǎn).∵ ，

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，且方程有解.

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，，

由可得，可得，解得,∴.

∴.綜上可得的最小值是24.