Question

設k∈R，x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的兩個實數根，則x₁²+x₂²的最小值為

 

Answer 1

分析：x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的兩個實數根，故方程有實數根，則△≥0，由此不難求出參數K的范圍，而要求x₁²+x₂²的最小值可以先將x₁²+x₂²化為（x₁+x₂）²-2x₁•x₂的形式再利用韋達定理（即一元二次方程根與系數的關系）將其轉化為關于K的不等式，進面求出x₁²+x₂²的最小值．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的兩個實數根
△=（2k）²-4（1-k²）=8k²-4≥0
即k2≥

1

2

又∵x₁+x₂=2k，x₁•x₂=1-k²
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6k²-2≥1
故x₁²+x₂²的最小值為1
故答案為：1

點評：代數的核心內容是函數，但由于函數、不等式、方程之間的辯證關系，故我們在解決函數問題是經常要用到方程的性質，其中韋達定理是最重要的方程的性質，其內容為：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根分別為x₁，x₂，則x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a