Question

（2009•濟寧一模）給出下列四個命題：
①命題：“設(shè)a，b∈R，若ab=0，則a=0或b=0”的否命題是“設(shè)a，b∈R，若ab≠0，則a≠0且b≠0”； 
②將函數(shù)y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移

π

4

個單位長度，得到函數(shù)y=

2

cosx的圖象； 
③用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是2（2k+1）； 
④函數(shù)f（x）=e^x-x-1（x∈R）有兩個零點．
其中所有真命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：因為“設(shè)a，b∈R，若ab=0，則a=0或b=0”的否命題是“設(shè)a，b∈R，若ab≠0，則a≠0且b≠0”； 判斷出①對；
利用函數(shù)的圖象的平移變換規(guī)律判斷出 ②錯；
因為當n=k時，左邊=（k+1）（k+2）…（k+k）；當n=k+1時左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）判斷出③對；
通過導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進一步得到零點的個數(shù)，判斷出④錯．

解答：解：對于①：“設(shè)a，b∈R，若ab=0，則a=0或b=0”的否命題是“設(shè)a，b∈R，若ab≠0，則a≠0且b≠0”； 故①對；
對于②，將函數(shù)y=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移

π

4

個單位長度，得到函數(shù)y=

2

sinx的圖象； 故②錯；
對于③，當n=k時，左邊=（k+1）（k+2）…（k+k）；當n=k+1時左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）
所以左邊需增添的一個因式是2（2k+1）； 故③對；
對于④，因為f′（x）=e^x-1，當x＞0時因f′（x）=e^x-1＞0，f（x）遞增；當x＜0時，f′（x）=e^x-1＜0，函數(shù)f（x）遞減，又因為f（0）=0，所以f（x）只有一個零點，故④錯．
故答案為：①③

點評：解決圖象平移變換的問題，一定注意左右平移的單位是自變量x上加、減的數(shù)的絕對值，遵循左加右減的規(guī)律．