已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-1），且右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）試問(wèn)是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范圍，若不存在，說(shuō)明理由．
（1）∵橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-1），
∴b=1，
∵右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3．
設(shè)Q（c，0）（c＞0），∴
|c+2
2
|
2
=3，解得c=
2
，
∴a2=b2+c2=3，
∴橢圓M的方程：
x2
3
+y2=1．
（2）設(shè)l：y=kx+m（k≠0），
代入橢圓M的方程得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0，
由△＞0得：（6km）2-12（1+3k2）（m2-1）＞0，
∴3k2＞m2-1…①
設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），
則BC中點(diǎn)P（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
），且
x1+x2
2
=-
3km
1+3k2
，
∴
y1+y2
2
=k×
x1+x2
2
+m=
m
1+3k2
，
∴P（-
3km
1+3k2
，
m
1+3k2
），
∵|AB|=|AC|，∴AP⊥BC，即kAP•kBC=-1，
∴
m
1+3k2
+1
-3mk
1+3k2
-0
=-
1
k
，∴m=
1
2
（1+3k2）…②，
由①②得：（1+3k2）（1-k2）＞0，∴-1＜k＜1且k≠0，
∴存在滿(mǎn)足條件的直線l，其斜率k∈（-1，0）∪（0，1）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（x，y）到點(diǎn)F1（-1，0）與點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點(diǎn)A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，
3
2
)為軌跡M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k1，直線PD的斜率為k2，試問(wèn)：k1+k2是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線C1：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2
DF2
=
F2E
，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓C：（x+1）2+y2=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P表示的曲線E的方程；
（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點(diǎn)為（2，1），試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x2+
y2
2
=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1，過(guò)程P（1，1）作直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
1
2
，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)且
AM
•
AN
=0，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T(mén)，且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，圓F2與x軸的右交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長(zhǎng)的最大值．

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