Question

已知圓O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點S（l不垂直于x軸），拋物線過A、B兩點且以l為準線，以F為焦點．
（1）當點S在圓周上運動時，求證：|FA|+|FB|為定值，并求出點F的軌跡C方程；
（2）曲線C上有兩個動點M，N，中點D在直線y=l上，若直線l′經(jīng)過點D，且在l′上任取一點P（不同于D點），都存在實數(shù)λ，使得

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

)，證明：直線l′必過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，由此能求出曲線C的方程．
（2）由

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

，知MN⊥l′，令MN：y=kx+m，

y=kx+m 3x2+4y2=12

，整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，再由韋達定理能證明：直線l′必過定點，并能求出該定點的坐標．

解答：解：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，
根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，
∴2a=4，c=1，
曲線C：

x2

4

+

y2

3

=1，(y≠0)．
（2）∵

DP

=λ(

MP

| MP |

+

NP

| NP |

，
∴MN⊥l′，
令MN：y=kx+m，

y=kx+m 3x2+4y2=12

，
整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，

1

2

(y1+y2)=

-4km

4k2+3

+m=1，
4k²+3=3m，
則l′：y-1=-

1

k

(x+

4km

4k2+3

)，
∴y=-

1

k

x-

1

3

，恒過（0，-

1

3

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，證明直線l′必過定點，并求該定點的坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．