【題目】已知函數(shù),.
(1)若直線與函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若存在,,使,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:.
【答案】(1);(2);(3)詳見解析.
【解析】
(1)由f′(x0).可得切線方程為:y=()x+lnx0,與直線y=2x完全相同,可得=2,lnx0=0.即可得出a.
(2)設(shè)t(x)=ex﹣x,x∈R.t′(x)=ex﹣1,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得0是函數(shù)t(x)的極小值點(diǎn),可得.再由g(x2)=0,解得x2,可得x1的范圍.從而問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+1在x∈(1,+∞)上有零點(diǎn).由f′(x)a.對(duì)a分類討論,研究其單調(diào)性即可得出.
(3)構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2+g(x)﹣f(x),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,
由,得,
所以切線方程為:,
即.
因?yàn)橹本與函數(shù)的圖象相切,
所以,解得.
(2)設(shè),則,令,得,
且當(dāng)時(shí),:當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在時(shí)取得極小值為0,即.
由,可得,
所以即為,
由題意可得:函數(shù)在上有零點(diǎn).
因?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)在上無零點(diǎn):
當(dāng)時(shí),令,得.
①若,即時(shí),在上恒成立,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以,函數(shù)在上無零點(diǎn):
②若,即時(shí),
當(dāng)時(shí),:當(dāng)時(shí),.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以,
因?yàn)?/span>,所以函數(shù)在上無零點(diǎn):
又,
令,
則在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,
所以,即,
所以,且在的圖象連續(xù)不斷,
所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),
即函數(shù)在上有零點(diǎn).
綜上所述,.
(3)當(dāng)時(shí),,
令 ,
則,
令,則當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),
又,,
所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn),
且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以函數(shù)在上遞減,在上遞增,
故,
由得:,
兩邊取對(duì)數(shù)得:,故,
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x﹣4y+1=0的交點(diǎn),且面積最小的圓方程為( )
A.(x+)2+(y+)2=B.(x﹣)2+(y﹣)2=
C.(x﹣)2+(y+)2=D.(x+)2+(y﹣)2=
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左.右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn).
(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 如圖,過點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線l斜率的值.
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【題目】如圖,三棱錐中,平面,,,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)是線段上的點(diǎn),且平面.
①確定點(diǎn)的位置;
②求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是圓:上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn),線段的垂直平分線交于,記點(diǎn)的軌跡為.
(Ⅰ)求軌跡的方程;
(Ⅱ)若動(dòng)直線:與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、,點(diǎn)在軌跡上,且四邊形為平行四邊形.證明:四邊形的面積為定值.
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【題目】南通風(fēng)箏是江蘇傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)用一張長2 m,寬1.5 m的長方形牛皮紙ABCD裁剪風(fēng)箏面,裁剪方法如下:分別在邊AB,AD上取點(diǎn)E,F,將三角形AEF沿直線EF翻折到處,點(diǎn)落在牛皮紙上,沿,裁剪并展開,得到風(fēng)箏面,如圖1.
(1)若點(diǎn)E恰好與點(diǎn)B重合,且點(diǎn)在BD上,如圖2,求風(fēng)箏面的面積;
(2)當(dāng)風(fēng)箏面的面積為時(shí),求點(diǎn)到AB距離的最大值.
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【題目】某大學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),對(duì)某公司1月份至6月份銷售某種配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查,銷售單價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售單價(jià)(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
銷售量(件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14.2 |
(1)根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù),先求出關(guān)于的回歸直線方程;6月份的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù).若由回歸直線方程得到的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過,則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.試問所求得的回歸直線方程是否理想?
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷售量與銷售單價(jià)仍然服從(1)中的回歸關(guān)系,如果該種機(jī)器配件的成本是元/件,那么該配件的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤?(注:利潤=銷售收入-成本).
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.
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【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,經(jīng)過原點(diǎn),且斜率為正數(shù)的直線與圓交于兩點(diǎn).
(。┣笞C: 為定值;
(ⅱ)求的最大值.
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【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下表:
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價(jià)格 (單位:元)與年產(chǎn)量滿足的函數(shù)關(guān)系式為,且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完.
①根據(jù)(1)中所建立的回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)年該農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量;
②當(dāng)為何值時(shí),銷售額最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為: , .
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