已知函數f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0.
(1)若函數f(x)是偶函數,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值;
(3)要使函數f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調遞增,求b的取值范圍.
【答案】
分析:(1)由函數為偶函數,則有f(-x)=f(x)恒成立,再用待定系數法求解.
(2)由(1)易知其對稱軸和開口方向,明確其單調性,再求函數最值.
(3)先用配方法將函數變形,求出其對稱軸,由“在區(qū)間[-1,3]上單調遞增”則有
,再求解即可.
解答:解:(1)∵函數為偶函數,
∴f(-x)=f(x),x∈R恒成立,
即:x
2-bx+c=x
2+bx+c
∴b=0
又∵f(1)=0.
∴c=-1
∴f(x)=x
2-1;
(2)由(1)易知其對稱軸為:x=0
∴當x=0時,?f(x)
min=-1,?
當x=3時,f(x)
max=8;
(3)∵函數f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調遞增
∴
,
∴b≥2
即b≥2時,f(x)在區(qū)間[-1,3]上是遞增的.
點評:本題主要考查二次函數解析式,單調性與最值的求法,明確對稱軸和開口方向是解題的關鍵.