Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（1）先根據(jù)計(jì)算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角.

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，

因?yàn)榈酌?/span>為菱形，，所以 ．

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以．

在△中，， 為的中點(diǎn)，所以．

設(shè),則，，

因?yàn)?/span>，所以．

在△中，，為的中點(diǎn)，所以．

在△ 和△ 中，因?yàn)?/span>，，，

所以△ △ ．

所以．所以．

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（2）因?yàn)?/span>，，，平面，平面，

所以平面．所以．

由（1）得，，所以，，所在的直線兩兩互相垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

則 令，則，，所以．

設(shè)平面的法向量為，

則 令，則，，所以．

設(shè)二面角為，由于為銳角，

所以 ．

所以二面角的余弦值為．