Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)，試研究函數(shù)的極值情況；

（2）記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)為，記，若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值情況；（2）先證明，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理， 存在

，使得，可得以，要證，只需證，即，記，其中，利用導(dǎo)數(shù)可證明單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意，得，

故，

故，

.

令，得

①當(dāng)時(shí)，，

或；

,

所以在處取極大值，

在處取極小值.

②當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以不存在極值；

③當(dāng)時(shí)，，或；

,

所以在處取極大值，

在處取極小值.

綜上，當(dāng)時(shí)，在處取極大值，在處取極小值；當(dāng)時(shí)，不存在極值；時(shí)，在處取極大值，在處取極小值.

（2），定義域?yàn)?/span>，

，而，

故，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

又，，

且在區(qū)間內(nèi)的圖象連續(xù)不斷，

故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).

所以存在，使得，

且當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以

當(dāng)時(shí)，，

由得單調(diào)遞增；

當(dāng)當(dāng)時(shí)，，

由得單調(diào)遞減；

若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根（）

則.

要證，即證

又，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

故可證，

又由，

即證，

即

記，其中

記，則，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

故

而，故，

而，

所以，

因此，

即單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，

即，故，得證.