Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)在[上有零點，求的最大值；（Ⅲ）證明：在其定義域內(nèi)恒成立，并比較與（且）的大小.

Answer 1

(Ⅰ)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為  (Ⅱ)  -2（Ⅲ）略

：（Ⅰ）由題知：的定義域為（0,+∞）∵
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為　的單調(diào)遞減區(qū)間為
(Ⅱ)∵在x∈上的最小值為
且=
∴在x∈上沒有零點，∴要想使函數(shù)在（n∈Z）上有零點，并考慮到在單調(diào)遞增且在單調(diào)遞減，故只須且即可，
易驗證
，當(dāng)n≤-2且n∈Z時均有，即函數(shù)在上有零點，∴n的最大值為-2.
(Ⅲ)要證明，即證只須證lnx-x+1上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由
則在x=1處有極大值（也是最大值）h(1)=0∴l(xiāng)nx-x+1上恒成立.
∴∴

=(n-1)-<(n-1)-[]
=(n-1)-( 
=∴<.