已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點 處的切線的斜率是5.

（1）求實數(shù)的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

 

【答案】

解：（1）當時，

∴  ………  2分

依題意  ∴    ∴   ………  3分

 又有

∴，   ………  4分

（2）當時，

，令有，∴，。………   5分

當x變化時，與的變化情況如下表：

-1

（-1，0）

0

（0，）

（，1）

1

 

—

0

+

0

—

 

2

↘

 

↗

 

↘

 

 ；；；。

∴當時，最大值為2�！�   8分

當時，

若，則是減函數(shù)，此時；若時，，此時；……   10分

當時，是增函數(shù)，�！�   11分

∵當時，有   

當時，有     ………   12分

∴

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省宜春中學、新余一中高三（上）12月聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）試確定實數(shù)b，c的值，并求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（2）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三5月高考沖刺理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結(jié)合導數(shù)和函數(shù)之間的關系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省高三12月月考文科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象過坐標原點O, 且在點處的切線的斜率是.（1）求實數(shù)的值；  （2）求在區(qū)間上的最大值

 

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