Question

如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=3，頂角為120°，D是BC邊上一點，且BD=1．把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，連接BC形成三棱錐C-ABD．
（Ⅰ） ①求證：AC⊥平面ABD；②求三棱錐C-ABD的體積；
（Ⅱ） 求AC與平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）①由已知中等腰△ABC的底邊BC=3，頂角為120°，BD=1，我們易根據(jù)勾股定理得到AC⊥AD，再由平面ADC⊥平面ABD，結合面面垂直的性質，即可得到AC⊥平面ABD；②根據(jù)①的結論，計算出三棱錐C-ABD的底面面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（II）在作等腰△ABC底邊上的高線AE，點E為垂足，連接CE，作AH⊥CE于點H，則∠ACH是直線AC與平面BCD所成的角，解三角形ACH即可得到AC與平面BCD所成的角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，AB=AC=

3

．
在△ABD中，由BD=1，得AD=

1+3-2•1• 3 •cos30°

=1，（3分）
在△ACD中，∵AC²+AD²=4=CD²，∴AC⊥AD．
平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）
②∵AC⊥平面ABD，∴V_C-ABD=

1

3

•S△ABD•AC=

1

3

•(

1

2

3

•1•sin30°)•

3

=

1

4

．（8分）
（Ⅱ）由BD=1，得CD=2，
在平面內作等腰△ABC底邊上的高線AE，點E為垂足，則AE=

3

2

．
在三棱錐C-ABD中，連接CE，作AH⊥CE于點H，
∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∵AH?平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，
∴∠ACH是直線AC與平面BCD所成的角．（11分）
在Rt△ACE中，得CE=

15

2

，AH=

AC•AE

CE

=

15

5

，
∴sin∠ACH═

5

5

，即直線AC與平面BCE所成的角的正弦值為

5

5

．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，（I）的關鍵是根據(jù)面面垂直的性質得到線面垂直，（2）的關鍵是找出直線與平面夾角的平面角．