【題目】已知三棱柱中,,,,.
求證:面面;
若,在線段上是否存在一點,使二面角的平面角的余弦值為?若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
由,可得四邊形為菱形,則,又,利用線面垂直的判定可得平面,得到,結(jié)合,即可證明平面,從而可證明面面;
以C為坐標(biāo)原點,分別以CA,CB所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)在線段AC上存在一點P,滿足,使得二面角的余弦值為,利用二面角的余弦值為,可求得的值,從而得到答案。
證明:如圖,,四邊形為菱形,
連接,則,又,且,
平面,則,
又,即,平面,
而平面,面面;
解:以C為坐標(biāo)原點,分別以CA,CB所在直線為x,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
,,,
0,,2,,0,,0,
設(shè)在線段上存在一點,滿足,使得二面角的余弦值為.
則.
0,,,,,.
設(shè)平面的一個法向量為,
由,取,得;
平面的一個法向量為.
由,
解得:,或,
因為,所以.
故在線段上存在一點,滿足,使二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)銳角的外接圓的半徑為,在內(nèi)取外接圓的同心圓,其半徑為 ,從圓上任取一點,作于點,于點,于點.
(1)求證:的面積為定值;
(2)猜想:當(dāng)為任意三角形、同心圓為任意同心圓時,結(jié)論是否成立(不要求證明)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AB=PA=6,BC=8,則( )
A.三棱錐D-BEF的體積為6
B.直線PB與直線DF垂直
C.平面DEF截三棱錐P-ABC所得的截面面積為12
D.點P與點A到平面BDE的距離相等
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】田忌賽馬是史記中記載的一個故事,說的是齊國將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)也們的馬腳力都差不多,都分為上、中、下三等于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得公子們許多賭注假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽獲勝的概率如表所示:
田忌的馬獲勝概率公子的馬 | 上等馬 | 中等馬 | 下等馬 |
上等馬 | 1 | ||
中等馬 | |||
下等馬 | 0 |
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬出騫,結(jié)果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.
如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將橢圓上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄们C,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
已知點且直線l與曲線C交于A、B兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測6月份該商場空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進行新一輪促銷,對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進行問卷調(diào)查.假設(shè)該地擬購買空調(diào)的消費群體十分龐大,經(jīng)過營銷部調(diào)研機構(gòu)對其中的500名顧客進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購買意愿對應(yīng)的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然對數(shù)的底數(shù),e≈2.718…).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)y=f(x)g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)h(x)=在區(qū)間(0,+∞)上既存在極大值又存在極小值,并且函數(shù)h(x)的極大值小于整數(shù)b,求b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù):
(I)當(dāng)時,求的最小值;
(II)對于任意的都存在唯一的使得,求實數(shù)a的取值范圍.
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