(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線的焦點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn),又點(diǎn)在該橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)面積的最大值時,求直線的方程.
(1); (2) 。
解析試題分析:(1)由已知拋物線的焦點(diǎn)為,
故設(shè)橢圓方程為 ………2分
將點(diǎn)代入方程得,整理得,得或(舍)
故所求橢圓方程為 ………5分
(2) 設(shè)直線的方程為,設(shè)
代入橢圓方程并化簡得,
由,可得. ( )
由, ………7分
故. 又點(diǎn)到的距離為, ………9分
故, ………11分
當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號(滿足式),取得最大值.
此時所求直線l的方程為 ………12分
考點(diǎn):本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的幾何性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,基本不等式的應(yīng)用。
點(diǎn)評:中檔題,本題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,運(yùn)用的是“待定系數(shù)法”,注意明確焦點(diǎn)軸和p的值。研究直線與橢圓的位置關(guān)系,往往應(yīng)用韋達(dá)定理,通過“整體代換”,簡化解題過程,實(shí)現(xiàn)解題目的。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題13分)已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上,,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓C:(.
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率k的取值范圍;
(3)如圖,過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點(diǎn),設(shè)原點(diǎn)到四邊形一邊的距離為,試求時滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的離心率,過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為。⑴求橢圓的方程;⑵已知定點(diǎn),若直線與橢圓交于兩點(diǎn),問:是否存在的值,使以為直徑的圓過點(diǎn)?請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的焦距為2,且過點(diǎn).
求橢圓的方程;
若點(diǎn),分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸,點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),直線交于點(diǎn)
(。┰O(shè)直線的斜率為直線的斜率為,求證:為定值;
(ⅱ)設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為.求證:直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn),點(diǎn),直線、都是圓的切線(點(diǎn)不在軸上)。
⑴求過點(diǎn)且焦點(diǎn)在軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵過點(diǎn)作直線與⑴中的拋物線相交于、兩點(diǎn),問是否存在定點(diǎn),使.為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)與常數(shù);若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知m>1,直線,橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時,求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△A、△B的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率,過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,的大小是否為定值?若是求出該定值,不是說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn),為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在兩點(diǎn)之間),若與的面積相等,試求直線的方程.
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