Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M，N不同的兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓P的方程；

（Ⅱ）當(dāng)AM與MN垂直時(shí)，求AM的長(zhǎng)；

（Ⅲ）若過點(diǎn)P且平行于AM的直線交直線于點(diǎn)Q，求證：直線NQ恒過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到結(jié)果；

（2）由與垂直得,結(jié)合點(diǎn)在曲線上，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得結(jié)果；

（3）設(shè)，，由題意，設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)閮蓚�(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，

所以 ,

又 ,

所以 ，

所以橢圓方程為 .

（2）方法一：

設(shè),

， ,

,

,

，（舍）

所以.

方法二：

設(shè)，

因?yàn)?/span>與垂直，

所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，

又以為直徑的圓的圓心為，半徑為，方程為,

，

，（舍）

所以

方法三：

設(shè)直線的斜率為， ，其中

化簡(jiǎn)得

當(dāng)時(shí)，

得 ，

顯然直線存在斜率且斜率不為0.

因?yàn)?/span>與垂直，

所以 ,

得，， ,

所以

（3）直線恒過定點(diǎn),

設(shè)，，

由題意，設(shè)直線的方程為，

由 得，

顯然，，則，，

因?yàn)橹本�與平行，所以，

則的直線方程為，

令，則，即 ,

，

直線的方程為,

令，得,

因?yàn)?/span>，故，

所以直線恒過定點(diǎn).