Question

已知函數(shù)，，(為自然對數(shù)的底數(shù))．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，求的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013073112120494909866/SYS201307311212580989592927_DA.files/image005.png">，

當(dāng)時，

由， 由．

故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．                               ……4分

（Ⅱ）在恒成立等價于：在恒成立，

令則，x∈,

于是在上為減函數(shù)，又在x=e處連續(xù),

故在,

從而要使對任意的恒成立．

只要，故的最小值為．                                             ……9分

（Ⅲ）一次函數(shù)在上遞增，故函數(shù)在上的值域是．

當(dāng)時，為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意；

當(dāng)時，，

要使在不單調(diào)，只要，此時�、�

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

注意到時，

∴

∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件，即

令，

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以，當(dāng)時有即對任意恒成立．

又由，解得……②

∴　綜合①②可知，當(dāng)時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立．                                                            ……14分

考點(diǎn)：本小題注意考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，研究單調(diào)性、極值、最值時不要忘記先求函數(shù)的定義域，而不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，分類討論時要注意分類標(biāo)準(zhǔn)要不重不漏.