Question

如圖a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD的中點，E在BC上，且EF∥AB.已知AB＝AD＝CE＝2，沿線EF把四邊形CDFE折起如圖b，使平面CDFE⊥平面ABEF.

(1)求證：AB⊥平面BCE；
(2)求三棱錐C ­ADE體積．

Answer 1

（1）見解析  （2） 

(1)證明：在題圖a中，EF∥AB，AB⊥AD，
∴EF⊥AD，在題圖b中，CE⊥EF，又平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，
CE⊥平面ABEF，AB?平面ABEF，∴CE⊥AB，又∵AB⊥BE，BE∩CE＝E，∴AB⊥平面BCE；
(2)解：∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF＝EF，AF⊥FE，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面CDEF，∴AF為三棱錐A ­CDE的高，且AF＝1，又∵AB＝CE＝2，∴S_△CDE＝×2×2＝2，
∴V_{C ­ADE}＝·S_△CDE·AF＝×2×1＝.