【題目】已知中,,,,,分別是,的中點,將沿翻折,得到如圖所示的四棱錐,且,設(shè)為的中點.
(1)證明:;
(2)求直線與平面所成角的的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取的中點,連接,,得到四邊形是平行四邊形,得出,,從而,,證得平面,平面,進而利用線面垂直的判定定理,證得平面,即可得到.
(2)以為坐標原點,為軸,為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,求得向量和平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)取的中點,連接,,可得,且,
所以四邊形是平行四邊形,所以,
因為,分別是,的中點,所以,
因為,所以,,
又因為,且,平面,
所以平面,所以平面,
因為平面,所以,
因為分別為的中點,故,
所以,又,,所以.
又因為,又,平面,所以平面,
又由平面,所以.
(2)由(1)知:平面,以為坐標原點,為軸,為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
因為,可得,
在中,,,,
可得,所以,,
所以點到軸的距離為1,
可得,,,,
則,,,
設(shè)平面的法向量為,
所以,解得,令,可得,
設(shè)直線與平面所成的角為.
則,
即直線與平面所成的角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,證明:;
(2)是否存在不相等的正實數(shù)m,n滿足,且?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】天然氣已經(jīng)進入了千家萬戶,某市政府為了對天然氣的使用進行科學管理,節(jié)約氣資源,計劃確定一個家庭年用量的標準.為此,對全市家庭日常用氣的情況進行抽樣調(diào)查,獲得了部分家庭某年的用氣量(單位:立方米).將統(tǒng)計結(jié)果繪制成下面的頻率分布直方圖(如圖所示).由于操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.若以各組區(qū)間中點值代表該組的取值,則估計全市家庭年均用氣量約為( )
A.6.5立方米B.5立方米C.4.5立方米D.2.5立方米
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【題目】已知下列命題:
①函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
②若函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍是;
③當時,函數(shù)的最大值為0;
④函數(shù)在上單調(diào)遞減;
上述命題正確的是_________(填序號).
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【題目】已知某快遞公司收取快遞費的標準是:重量不超過的包裹收費元;重量超過的包裹,在收費元的基礎(chǔ)上,每超過(不足,按計算)需再收元.該快遞公司承攬了一個工藝品廠家的全部玻璃工藝品包裹的郵寄事宜,該廠家隨機統(tǒng)計了件這種包裹的兩個統(tǒng)計數(shù)表如下:
表
包裹重量 | |||||
包裹數(shù) | |||||
損壞件數(shù) |
表
包裹重量 | |||||
出廠價(元件) | |||||
賣價(元件) |
估計該快遞公司對每件包裹收取快遞費的平均值;
將包裹重量落入各組的頻率視為概率,該工藝品廠家承擔全部運費,每個包裹只有一件產(chǎn)品,如果客戶收到有損壞品的包裹,該快遞公司每件按其出廠價的賠償給廠家.現(xiàn)該廠準備給客戶郵寄重量在區(qū)間和內(nèi)的工藝品各件,求該廠家這兩件工藝品獲得利潤的分布列和期望.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,,,O為線段CD的中點,將沿BO折到 的位置,使得,E為的中點.
(1)求證:;
(2)求直線AE與平面所成角的正弦值
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【題目】在某外國語學校舉行的(高中生數(shù)學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分數(shù)在以上(含)的同學獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關(guān)”.
女生 | 男生 | 總計 | |
獲獎 | |||
不獲獎 | |||
總計 | |||
附表及公式:
其中,.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,,為橢圓上兩點,圓.
(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;
(2)若圓的半徑為2,點,滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.
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