Question

（2011•上海模擬）某個QQ群中有n名同學(xué)在玩一個數(shù)字哈哈鏡游戲，這些同學(xué)依次編號為1，2，3，…，n．在哈哈鏡中，每個同學(xué)看到的像用數(shù)對（p，q）（p＜q）表示，規(guī)則如下：若編號為k的同學(xué)看到像為（p，q），則編號為k+1的同學(xué)看到像為（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N^*）．已知編號為1的同學(xué)看到的像為（5，6）．請根據(jù)以上規(guī)律，編號為3和n的同學(xué)看到的像分別是（　　）

• A．（7，10）；（n+4，2n+4）
• B．(10，13)；(

  n2+n+8

  2

  ，

  n2+3n+8

  2

  )
• C．(10，13)；(

  n2+2n+5

  2

  ，

  n2+4n+5

  2

  )
• D．(8，11)；(

  n2-n+10

  2

  ，

  n2+n+10

  2

  )

Answer 1

分析：由題意規(guī)律，編號為2的同學(xué)看到的像是（6，8）；編號為3的同學(xué)看到的像是（8，11）．設(shè)編號為n的同學(xué)看到的像是（b_n，a_n），則b₁=5，a₁=6，當(dāng)n≥2時，b_n=a_n-1．由此結(jié)合題意可知編號為n的同學(xué)看到的像是（

n2-n+10

2

，

n2+n+10

2

）．

解答：解：由題意規(guī)律，編號為2的同學(xué)看到的像是（6，8）；
編號為3的同學(xué)看到的像是（8，11）．
再設(shè)編號為n的同學(xué)看到的像是（b_n，a_n），則b₁=5，a₁=6，
當(dāng)n≥2時，b_n=a_n-1．
由題意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+3+…+n=

(n-1)(2+n)

2

．
a_n=

(n-1)(2+n)

2

+6=

n2+n+10

2

，b_n=a_n-n=

n2-n+10

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)n=1時，上式也成立．
∴編號為n的同學(xué)看到的像是（

n2-n+10

2

，

n2+n+10

2

）．
故選D．

點(diǎn)評：本題以QQ作為背景、以數(shù)字哈哈鏡面游戲規(guī)則形式給出信息，考查學(xué)生閱讀信息、搜集信息、加工信息的能力．考查靈活運(yùn)用數(shù)列知識分析問題與解決問題的能力．