Question

如圖，矩形ABCD中，AB=

8 3

3

，BC=2，橢圓M的中心和準(zhǔn)線分別是已知矩形的中心和一組對(duì)邊所在直線，矩形的另一組對(duì)邊間的距離為橢圓的短軸長(zhǎng)，橢圓M的離心率大于0.7．
（I）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求橢圓M的方程；
（II）過(guò)橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₂，當(dāng)∠PF2Q=

2π

3

時(shí)，求△PF₂Q的面積．

Answer 1

分析：先以過(guò)O平行于AB的直線為x軸，以過(guò)O平行于AD的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)題目中準(zhǔn)線方程、短軸長(zhǎng)和離心率確定a，b，c的值，代入即可確定方程．
（2）先求出|PF₁|、|PF₂|的距離，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知|PF₁|=|QF₂|，再由三角形面積公式可得到答案．

解答：解；如圖，建立直角坐標(biāo)系，
依題意：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
（I）依題意：

a2

c

=

4 3

3

，b=1，a2=b2+c2，
∵橢圓M的離心率大于0.7，所以a²=4，b²=1．
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．

（II）因?yàn)橹本�l過(guò)原點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn)P，Q，
設(shè)橢圓M的左焦點(diǎn)為F₁．
由對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形PF₁QF₂是平行四邊形．
∴△PF₂Q的面積等于△PF₁F₂的面積．
∵∠PF2Q=

2π

3

，
∴∠F1PF2=

π

3

．
設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則

r1+r2=4 r 2 1 + r 2 2 -r1r2=12

∴r1r2=

4

3

．
∴S△PF2Q=S△F2PF1=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．圓錐曲線是每年必考題，對(duì)于圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)一定要熟練掌握．