Question

某電視臺(tái)舉行電視奧運(yùn)知識(shí)大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分．為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答題的正確率為

2

3

．
（Ⅰ）求選手甲可進(jìn)入決賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）  選手甲答3道題可進(jìn)入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

；  …1分
選手甲答4道題可進(jìn)入決賽的概率為

C

23

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…3分
選手甲答5道題可進(jìn)入決賽的概率為

C

24

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …5分
∴選手甲可進(jìn)入決賽的概率p=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …7分
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．則有p(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，p(ξ=4)=

C

23

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

23

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，p(ξ=5)=

C

24

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

24

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，…10分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3•

1

3

+4•

10

27

+5•

8

27

=

107

27

=3

26

27

．          …12分．