【題目】已知拋物線C1:和圓C2:(x-6)2+(y-1)2=1,過圓C2上一點P作圓的切線MN交拋物線C,于M,N兩點,若點P為MN的中點,則切線MN的斜率k>1時的直線方程為( )
A.4x-3y-22=0B.4x-3y-16=0C.2x-y-11+5=0D.4x-3y-26=0
【答案】D
【解析】
設(shè)點和直線MN的方程為:,其中,則,聯(lián)立并結(jié)合韋達定理可得,,利用直線MN與圓C2相切,則有,再根據(jù)直線C2P與直線MN垂直,則,消去n化簡可得,降次整理可得,令,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性可證明在無解,故可得,代入可求n,從而可求直線MN的方程.
畫出曲線圖像如下圖:
由題意知,切線MN的斜率k存在且不為0,設(shè)點,
設(shè)直線MN的方程為:,其中,則,
聯(lián)立,可得,
則有,,,
根據(jù)中點坐標公式可得,,,
又直線MN與圓C2相切,則有,即①,
依題意,直線C2P與直線MN垂直,則,
整理得②,
將②代入①并整理得,,
降次化簡可得,③,
令,
則,因為,
所以,即在單調(diào)遞減,
則在上恒成立,即在無解,
從而③式的解只有一個,,代入②式可得,,
所以,直線MN的方程為:,整理得,4x-3y-26=0.
故選:D.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),對于函數(shù)有下述四個結(jié)論:①函數(shù)在其定義域上為增函數(shù);②對于任意的,,都有成立;③有且僅有兩個零點;④若,則在點處的切線與在點處的切線為同一直線.其中所有正確的結(jié)論有( )
A.①②③B.①③C.②③④D.③④
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,已知橢圓:的離心率為,為橢圓上位于第一象限上的點,為橢圓的上頂點,直線與軸相交于點,,的面積為6.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓有且只有一個公共點,設(shè)橢圓的兩焦點到直線的距離分別是,,試問是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)的圖象為曲線,曲線在點的切線為(其中).
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)證明:(i);
(ii).
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【題目】已知F1(﹣c,0),F2(c,0)分別為雙曲線1(a>0,b>0)的左、右焦點,以坐標原點O為圓心,c為半徑的圓與雙曲線在第二象限交于點P,若tan∠PF1F2,則該雙曲線的離心率為_____.
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【題目】某數(shù)學(xué)教師在甲、乙兩個平行班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“高效課堂”兩種不同的教學(xué)模式進行教學(xué)實驗.為了解教改實效,期中考試后,分別從兩個班中各隨機抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計,得到如下的莖葉圖:
(Ⅰ)求甲、乙兩班抽取的分數(shù)的中位數(shù),并估計甲、乙兩班數(shù)學(xué)的平均水平和分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)若規(guī)定分數(shù)在的為良好,現(xiàn)已從甲、乙兩班成績?yōu)榱己玫耐瑢W(xué)中,用分層抽樣法抽出位同學(xué)進行問卷調(diào)查,求這位同學(xué)中恰含甲、乙兩班所有分以上的同學(xué)的概率.
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【題目】我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異“.意思是兩個同高的幾何體,如果在等高處的截面積都相等,那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件,若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的圓的三分之一,則該幾何體的體積為( )
A.πB.πC.4D.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)、為曲線上位于第一,二象限的兩個動點,且,射線,交曲線分別于點,.求面積的最小值,并求此時四邊形的面積.
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【題目】如圖(1),在平行四邊形中,,,,,分別為,的中點.現(xiàn)把四邊形沿折起,如圖(2)所示,連結(jié),,.
(1)求證:;
(2)若,求二面角的余弦值.
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