Question

【題目】某工廠生產并銷售某高科技產品，已知每年生產該產品的固定成本是800萬元，生產成本e（單位；萬元）與生產的產品件數x（單位：萬件）的平方成正比；該產品單價p（單位：元）與生產的產品件數x滿足（b為常數），已知當該產品的單價為300元時，生產成本是1800萬元，當單價為320元時，生產成本是200萬元，且工廠生產的產品都可以銷售完．

（1）每年生產該產品多少萬件時，平均成本最低，最低為多少?

（2）若該工廠希望年利潤不低于8200萬元，則每年大約應該生產多少萬件該產品?

Answer 1

【答案】（1）每年生產該產品20萬件時，平均成本最低，最低為80萬元．（2）不小于50萬件，不大于60萬件

【解析】

（1）先求出成本，單價兩者分別與生產的產品件數的函數關系式，再寫出總成本函數關系，進而求得平均成本函數關系式，根據均值不等式求解即可.（2）寫出利潤和產品數量的函數關系，化簡后為二次函數，轉化為解二次不等式.

設．

當單價為300元時，設產品件數為則

①

當單價為320元時，設產品件數為，則

②

聯(lián)立①②解得，

，

（1）設該工廠生產x萬件產品的總成本為y萬元，平均成本為s萬元，則

當且僅當，即時，s取得最小值，最小值為80．

∴每年生產該產品20萬件時，平均成本最低，最低為80萬元．

（2）設該工廠生產x萬件產品時的利潤為t萬元，則

令

解得

∴若該工廠年利潤不低于8200萬元，則每年生產的產品數應不小于50萬件，不大于60萬件．