Question

已知拋物線C₁∶y=x²+2x和C∶y=-x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段為公切線段．

（1）a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：函數(shù)yx22x的導數(shù)y¢2x2，曲線C1在點的切線方程是： 　　　　   ① 函數(shù)yx2a的導數(shù)y¢2x，曲線C2在點的切線方程是 即　　    　　　　　　　　 ② 如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，所以 消去x2得方程． 若判別式D44´21a0時，即時解得，此時點P和Q重合．即當時C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為． （2）證明：由（1）可知．當時C1和C2有兩條公切線．設一條公切線上切點為：Px1，y1，Qx2，y2．其中P在C1上，Q在C2上，則有 x1x21，． 線段PQ的中點為．同理，另一條公切線段P¢Q¢的中點也是． 所以公切線段PQ和P¢Q¢互相平分．

提示：

本小題主要考查導數(shù)、切線等知識及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．