Question

（2009福建卷理）（本小題滿(mǎn)分13分）

已知A,B 分別為曲線(xiàn)C： +=1（y0,a>0）與x軸

的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上

異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線(xiàn)C于點(diǎn)T.

(1)若曲線(xiàn)C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；

（II）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線(xiàn)段TB的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線(xiàn)？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。                                  

Answer 1

解析：解法一：(Ⅰ)當(dāng)曲線(xiàn)C為半圓時(shí)，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°.

(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí), ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

 (2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,

(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線(xiàn).

由于點(diǎn)M在以SB為直線(xiàn)的圓上,故.

顯然,直線(xiàn)AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線(xiàn)AS的方程為.

由

設(shè)點(diǎn)

故,從而.

亦即

由得

由,可得即

經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線(xiàn).    故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線(xiàn).

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線(xiàn).

由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.

顯然,直線(xiàn)AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線(xiàn)AS的方程為

由

設(shè)點(diǎn),則有

故

由所直線(xiàn)SM的方程為

O,S,M三點(diǎn)共線(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)O在直線(xiàn)SM上,即.

故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線(xiàn).